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Caratteristiche della superficie di uno specchio ellittico

(libera traduzione di Giorgia Giabardo per NortheK® su autorizzazione della Oldham Optical)
Se possedete un telescopio Newtoniano con un costoso specchio primario a diffrazione limitata, con una precisione di circa PV 1/10 Lambda (fronte d’onda), allora potreste voler sapere che tipo di specchio ellittico e` meglio usare e come misurarlo.
Un parte della comunita` astronomica sembra concordare che, per adeguarsi alle caratteristiche e alle performance di un primario da 1/10 d’onda, serve uno specchio piano ellittico da 1/10 d’onda (superficie).
Puo` sorprendere dunque che la superficie di uno specchio ellittico piano possa essere invece MOLTO MOLTO PEGGIORE dello specchio primario senza comprometterne le prestazioni.
Senza contare che, a parita` di dimensione, i costi per produrre una superficie assolutamente piatta sono molto superiori a quelli necessari per fare una superficie sferica o parabilica.
I calcoli matematici necessari per determinare che tipo di precisione serve alla superficie di uno specchio ellittico piano sono di solito calcolati da un programma informatico per la tracciatura di raggi. Tuttavia, e` possibile trovare una risposta empirica “quasi giusta” usando semplicemente un diagramma e prendere per buono il risultato preciso e reale calcolato dal computer.
La risposta empirica
Prendete come punto di partenza un sistema ottico Newtoniano da 20” F/4 e ponete che abbia uno specchio primario a Diffrazione Limitata. E` possibile determinare approssimativamente l’errore dello specchio ellittico piano che creera` lo stessa sfocatura dello specchio primario a Diffrazione Limitata.
OldHam Optical Il punto focale si sposta di ¼ Lambda
lateralmente ed in alto rispetto
al piano focale.
Per incominciare, assumete di avere uno specchio ellittico piano dove sia noto che una parte della superficie abbia un errore di una lunghezza d’onda (1 Lambda).
Nella figura qui sopra, la superficie dello specchio ellittico piano e` rappresentata dalla linea continua blu, mentre l’effetto di un errore di 1 Lambda e` rappresentato dalla linea blu tratteggiata. La lunghezza d’onda della luce che ci interessa e` di circa 0.0005mm. Le linee continue rosse indicano il percorso ed il punto focale della luce riflessa dallo specchio ellittico piano verso il punto focale. Le linee tratteggiate rosse mostrano invece il persorso “alternativo” della luce che si riflette dalla parte “difettosa” dello specchio ellittico piano che ha un errore di 1 Lambda.
Se conoscete un po’ di trigonometria, avrete gia` capito che il punto focale della luce che arriva dalla parte “difettosa” dello specchio piano e` spostato lateralmente di 1.4 Lambda ed e` anche situato piu` in alto di 1.4 Lambda rispetto al piano focale principale.
Poiche` il punto focale e` posizionato leggermente piu` in alto, quando la luce che arriva dalla parte “difettosa” raggiungera` la superficie focale principale non sara` a fuoco e ci sara` una sfocatura ulteriore.
Dal disegno piu` sopra potete notare che anche con la luce sfocata proveniente dal punto focale piu` elevato, tutti i raggi di luce arrivano sulla superficie focale principale entro una distanza di 2 Lambda dal punto focale originale.
La semplice regola empirica che si evince da questo esempio e` che l’errore della superficie dello specchio piano di 1 Lambda provoca approssimativamente una sfocatura di 2 Lambda e, poiche` la lunghezza d’onda della luce e` di 0.0005mm, la sfocatura di 2 Lambda rappresentera` circa 0.001mm.
Allo stesso modo, un errore superficiale di 2 Lambda creera` 4 Lambda di sfocatura e cosi` via. Per fare un esempio ulteriore con un valore particolarmente interessante, pensate che un errore di superficie di 5 Lambda creera` una sfocatura di 10 Lambda. Poiche` la lunghezza d’onda della luce e` di 0.0005mm, in questo caso l’errore di 10 Lambda equivale a 0.005mm.
Confronto con il disco di Airy
A questo punto andiamo a discutere anche della dimensione del disco di Airy. Ricordatevi che persino uno specchio a diffrazione limitata non puo` produrre un punto piu` piccolo del disco di Airy e, per un sistema ottico F/4, il disco di Airy e` di circa 0.005mm.
Percio` e` semplicissimo: lo specchio a diffrazione limitata PV1/10 Lambda (fronte d’onda) F/4 produce la stessa sfocatura di uno specchio ellittico piano con un enorme errore di superficie pari a 5 Lambda!
Non vi aspettavate un valore cosi` grande, vero? Per essere sinceri, effettivamente 5 Lambda e` un po’ grande.
Come anticipato, quella fornita era una spiegazione empirica ed il risultato ottenuto non e` perfettamente esatto, ma vi prepara per il risultato corretto calcolato con la tracciatura dei raggi a computer, che vi da` circa 4 Lambda. (Il dato esatto si situa intorno a 4 Lambda, a seconda del diametro dello specchio e dal rapporto focale.)
La differenza fra il valore empirico di 5 Lambda riscontrato piu` sopra ed il valore reale di circa 4 Lambda e` dovuta al fatto che uno vero specchio non puo` essere assolutamente piatto come sembra suggerire il disegno piu` sopra, in realta` la superficie e` una specie di curva o un insieme di microscopiche ondulazioni.
Quando si fa uno specchio ellittico piano, e` estremamente difficile realizzare la superficie assolutamente “piana”. Normalmente, le macchine utilizzate per lucidare gli specchi piani tendono infatti a lavorare la superficie come se fosse un lunghissimo raggio di una superficie sferica anziche` una superficie assolutamente piana. Benche` i macchinari siano regolati per fare un raggio estremamente lungo, cosi` da ridurre al minimo l’errore sferico residuo, il principale errore che rimane sulla superficie di uno specchio ellittico piano realizzato da un produttore professionale e` quello dovuto a tale lunghissimo raggio sferico che non e` quindi perfettamente piano.
Tanto per darvi dei dati per comprendere il genere di raggio a cui ci riferiamo, uno specchio ellittico piano con asse maggiore da 7” per essere accettabile deve avere una superficie sferica con un raggio pari a circa 300.000”.
Tanto per rendere meglio l’idea di quanto sono lunghi 300.000", potete pensare a "5 Miglia", o a "8 Km".
Si tratta di una lunghezza focale estremamente lunga i cui effetti pero`, quando utilizzata in un sistema Newtoniano, risultano comunque percettibili. Uno specchio piano da 7" con lunghezza focale di 300.000” equivale ad un errore di superficie di circa 4 Lambda sull’asse maggiore.
OldHam Optical Al piano focale l’errore risultante è di circa 2.5 Lambda
La differenza fra l’errore empirico di 5 Lambda otenuto dal disegno di cui sopra ed il valore invece piu` preciso di 4 Lambda e` proprio dovuta al fatto che la superficie dello specchio piano in realta` e` leggermente curva, percio` piega e mette a fuoco i raggi luminosi.
Il disegno appena sopra e` praticamente lo stesso del precedente, in esso lo specchio ellittico piano (linea continua blu) e` curvo e le linee continue rosse rappresentano i nuovi raggi di luce provenienti dalla superficie. Abbiamo lasciato i raggi di luce del primo disegno come riferimento (linee tratteggiate rosse).
Quello che salta all’occhio in questo secondo disegno e` che il livello di sfocatura sul piano focale e` piu grande rispetto al precedente, in effetti e` passato da 2 Lambda a circa 2,5 Lambda.
A differenza del primo esempio, in questo caso non e` altrettanto semplice applicare un po’ di trigonometria per verificare i valori forniti. A meno che dunque non abbiate accesso ad un programma di tracciaura di raggi, dovrete fidarvi di questo 2.5 Lambda cosi` come ve lo diamo, speriamo comunque che la figura e la spiegazione siano sufficientemente chiari da farvi capire che il risultato e` molto simile a quello fornito.
Sapendo che un errore di 1 Lambda determina una sfocatura di 2.5 Lambda, potete calcolare facilmente che un errore di superficie di 4 Lambda provoca una sfocatura di 10 Lambda che, come precedentemente affermato, rappresenta la dimensione del Disco di Airy da uno specchio a diffrazione limitata di 20”, F/4.
Ne consegue che, se l’errore sferico dello specchio ellittico piano e` minore o uguale a 4 Lambda, la precisione dello specchio e` sicuramente maggiore di uno specchio primario a diffrazione limitata.
Quella che segue e` un’interessante tabella di dati derivati da ZEMAX che fornisce i valori reali. I dati contenuti provengono da sistemi diversi e ci sono inoltre altri valori che spiegheremo piu` avanti.
Sistema Punto focale fuori dal tubo (FP) Asse maggiore dello specchio ellitico piano Raggio della curva Errore sullo specchio rispetto a una superficie piana ( Lambda) Sagitta “seno verso” ( Lambda) Errore corrispondente misurato all’asse minore ( Lambda)
30" F/5 6" 6.6" 240,000" 4.14 1.025 0.5012
20" F/4 6" 6.5" 230,000" 4.18 1.045 0.5022
20" F/4 4" 5.7" 180,000" 4.09 1.025 0.5012
20" F/3.5 6" 7.6" 300,000 4.36 1.09 0.5045
16" F/5 6" 4.4" 110,000" 4.32 1.08 0.504
13" F/6 6" 3.2" 60,000" 3.87 0.967 0.483
10" F/8 6" 2.0" 25,000" 3.63 0.907 0.453
10" F/8 4" 1.7" 17,000" 3.86 0.965 0.482
Per coloro che possono accedere a ZEMAX, e` stato impostato un sistema Newtoniano dove il raggio di curvatura dello specchio ellittico piano potesse variare fino al punto in cui la dimensione del punto fosse uguale a quella del disco di Airy del sistema ottico. I valori di FP (punto focale) erano sia di 6" che di 4" (vedi pagina web “Disegni” per ulteriori spiegazioni sull’FP).
Il raggio e la dimensione dello specchio ellittico sono stati poi utilizzati per determinare l’errore rispetto ad una superficie perfettamente piana, come descritto piu` sopra (circa 4 Lambda), cosi` come il seno verso ed errore corrispondenti misurati pero` lungo l’asse minore.

Non vi inquietate se i valori della quinta colonna per specchi inferiori a 13" sono a meno di 4 Lambda. Potete vedere infatti dalla tabella che sistemi piu` piccoli, apparentemente necessitano di specchi piani piu` accurati/precisi. C’e` poi una tolleranza che fa si` che il valore di 4 Lambda e altri valori derivati, siano perfettamente accettabili.
La dimensione di uno specchio piano ellittico
Le misure contano!
Un telescopio da 20” F3,5 puo` aver bisogno di uno specchio ellittico piano con asse maggiore da 7,6”, mentre un 10” F/8 puo` utilizzarne uno da meno di 2”. La misura dello specchio piano dipende dal tipo di costruzione del telescopio.
Oltre al diametro e al rapporto focale, gli altri due problemi riguardanti la dimensione dello specchio ellittico sono la posizione del punto focale al di fuori del tubo del telescopio ed il campo visivo desiderato dal telescopio. Se desiderate approfondire, fate riferimento ala pagina web “Disegni” per avere maggiori dettagli.
La regola fondamentale e` che, indipendentemente dalle dimensioni dello specchio ellittico piano, l’errore superficiale misurato lungo la dimensione piu` lunga dello specchio piano (asse maggiore) deve essere inferiore a 4 Lambda . Cio` significa che la superfice di uno specchio ellittico piu` grande deve essere piu` “piatta” per stare al dentro ai 4 Lambda, - ma non c’e` nessuna differenza rispetto agli specchi primari, dove per restare dentro 1/10 Lambda, devono divenire piu` precisi man mano che aumenta il diametro.
Un ingegnere ottico che leggesse queste pagine si chiederebbe a questo punto perche` misiuriamo l’errore sferico in questo modo ed obietterebbe che 4 Lambda non e` il "modo corretto" di misurare questo errore.
Saprete certamente che ci sono due modi di misurare l’errore di PV in uno specchio primario. Esso puo` essere misurato sia sulla superficie che sul fronte d’onda. L’errore di superficie e` sempre la meta` di quello sul fronte d’onda. Percio` uno specchio con un PV 1/20 Lambda (superficie) e` esattamente uguale a uno specchio con un PV1/10 Lambda (fronte d’onda). C’e` poi un altro modo di misurare l’errore di una superficie sferica e ora dobbiamo utilizzare quest’altro metodo poiche` e` piu` adatto agli specchi ellittici piani. L’altro metodo per misurare l’errore superficiale di una curva e` quello di misurare la profondita` del seno verso.
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Nella figura piu` sopra sono illustrati entrambi i metodi.
Il valore di 4 Lambda misurato al bordo dello specchio e` indicato nel disegno.
Chi fra di voi ha delle buone doti matematiche comprendera` facilmente che l’errore misurato al seno verso e` un quarto di quello misurato al bordo. Percio`, uno specchio ellittico piano che misura PV 1 Lambda (seno verso superficiale) lungo l’asse maggiore, equivale a un PV 4 Lambda (superficie da bordo a bordo) misurato sull’asse minore.
Gli specchi ellittici piani di solito sono testati appoggiandoli su delle buone ottiche piane e osservando le frange d’interferenza prodotte. Poiche` i punti piu` alti e/o piu` bassi dello specchio ellittico piano tendono ad essere all’estremita` dell’asse maggiore, le frange che si vedono quando lo si testa di solito sono parallele all’asse minore.
Esempi di cio` che si vede durante il test sono rappresentati piu` avanti.
Purtroppo dobbiamo fare un’altra equivalenza, dobbiamo infatti trasformare il valore di 1 Lambda riscontrato lungo l’asse maggiore in un valore corrispondente sull’asse minore. Sapendo che con uno specchio ellittico piano l’asse minore e` sempre 0.7 volte l’asse maggiore, con un errore di 1 Lambda sull’asse maggiore, vi aspettereste un errore sull’asse minore di 0.7 Lambda. In in realta` l’errore e` di 0.5 Lambda!
Poiche` l’inclinazione aumenta ai bordi, l’errore e` proporzionale al quadrato delle due lunghezze e questo cambia il valore lineare di 0,7 che vi aspettavate in 0.5.
Di conseguenza, per avere una precisione equivalente ad un primario a diffrazione limitata di 0.5 Lambda dovrete avere uno specchio piano con un errore di 0.5 Lambda misurato sull’asse minore. Un errore di 0.5 Lambda corrisponde a una frangia d’interferenza. Se pensavate che dalla tabella di ZEMAX risultasse che alcuni dati relativi a piccoli telescopi fossero inferiori alla regola data di 0.5 Lambda, - ora possiamo spiegare che esiste una certa tolleranza su questi stessi dati poiche` non tutta l’area della superficie illumina tutti i punti dell’immagine. La dimensione dello specchio ellittico piano deve corrispondere dunque al campo visivo richiesto e la sua dimensione crescera` man mano che cresce anche il campo visivo.
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Alcuni Newtoniani possono essere concepiti con un campo visivo di 10-14mm per visioni dirette, mentre altri possono essere concepiti con un campo da 44mm o da 35mm per fotografie. Cio` significa che lo specchio ellittico piano e` piu` grande di quanto non sia invece necessario per illuminare completamente ogni punto dell’immagine. Quindi, in pratica, lo specchio piano piu` grande necessario per ottenere il campo visivo richiesto puo` anche essere leggermente peggiore di 0.5 Lambda senza per questo compromettere nulla. Nel caso dell’esempio del 20" F/4, e` sufficiente che la sezione interna da 100 mm raggiunga 0.5 Lambda.
Percio` uno specchio piano sufficientemente grande per un campo visivo da 14mm per visione diretta puo` essere leggermente superiore a 0.6 Lambda. Per il campo da 44mm, il valore sale a 0.9 Lambda, - che corrisponde a circa due frange.
Se l’ultimo paragrafo vi e` sembrato un po’ complicato, ricordatevi semplicemente che se avete uno specchio ellittico piano con errore superficiale PV 0.5 Lambda misurato sull’asse minore, -siete ben al di sotto della tolleranza richiesta per superare la precisione di uno specchio a diffrazione limitata..
Testare specchi ellittici piani
Se uno specchio ellittico piano e` posizionato su un buono specchio piano ed illuminato con luci al sodio o con un’altra buona fonte di luce monocromatica, e` possibile vedere una serie di frange d’interferenza. Nel caso in cui lo specchio piano fosse assolutamente perfetto, le frange d’interferenza sarebbero tutte perfettamente diritte come nell’esempio qui sotto:
 
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Non importa quante frange si possono vedere poiche` questo dipende dall’angolo (cuneo d’aria) che si crea appoggiando uno specchio sopra l’altro. E` possibile far aumentare o diminuire il numero delle frange o ruotare il loro angolo semplicemente toccando delicatamente lo specchio con l’estremita` di una matita.
Se lo specchio invece non e` perfetto, si vedranno delle frange d’interferenza curve. In realta`, cio` che si vede dipende dall’angolo dell’aria che si forma ma, in ogni caso, dovrebbe essere possibile ricondurlo ad uno di quelli illustrati qui sotto:
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Queste sono tutte immagini che illustrano lo stesso specchio. Se non c’e` nessun angolo allora si vedra` un’immagine simile a quella di sinistra; tale immagine e` anche nota come “anelli di Newton”. Notate in questo caso c’e` una sola frangia visibile lungo l’asse minore, il che significa circa 0.5 Lambda.
Non appena si introduce una certa angolazione, gli anelli si spostano dal centro e appaiono una serie di linee curve. Sara` possibile vedere immagini come quella centrale o quella di destra a seconda dell’inclinazione. Ma la cosa importante che vi interessa notare e` il numero delle frange che si curvano lungo l’asse minore. Nell’esempio rappresentato piu` sopra, c’e` soltanto una frangia che si curva lungo l’asse minore (dove c’e` la linea tratteggiata rossa), che rappresenta pertanto un errore di circa 0.5 Lambda. Se utilizzate l’estremita` di una matita per toccare delicatamente lo specchio, dovreste essere in grado di passare da un immagine all’altra.
Quando ci sono piu` di una frangia a curvarsi lungo l’asse minore allora ad ogni frangia corrisponde un errore di 0.5 Lambda. Di conseguenza, se avete uno specchio piano con soltanto una frangia, (o meno di una), allora potete essere sicuri che sara` piu` preciso di un qualsiasi specchio primario a diffrazione limitata.
Frange ellittiche
Non crediate di essere alla fine, l’ultimo capitolo potrebbe sorprendervi!
Lo specchio ellittico piano non deve necessariamente essere "piano", anzi, se non lo fosse, potreste addirittura trarne dei vantaggi. Anziche` essere piatto, con una tolleranza lungo l’asse minore di 0.5 Lambda, - uno specchio ellittico piano puo` deliberatamente essere fatto con una particolare curvatura che gli conferisce una precisione equivalente o migliore, con il vantaggio che uno specchio di questo tipo puo` essere fabbricato con costi inferiori.
Vi ricorderete di quanto accennato all’inizio, vale a dire che una superficie molto piatta e` piu` costosa da produrre che una superficie sferica o parabolica come quella usata negli specchi primari.
Pur provando ad otterenere una superficie completamente piana alla fine finiremo comunque con l’ottenere una superficie sferica con un raggio molto lungo, dell’ordine di 5 miglia (8Km). Un raggio cosi` lungo e` estremamente difficile da controllare. Tuttavia, se accorciassimo il raggio, questo sarebbe sempre estremamente lungo rispetto allo specchio primario, per contro pero` sarebbe molto piu` facilmente controllabile e regolabile.
L’aberrazione causata da uno specchio ellittico piano con un errore sferico quando e` posizionato a 45 gradi in un sistema Newtoniano, e` l’astigmatismo. E` possibile pero` introdurre appositamente una curva nello specchio piano per evitare che quando e` posizionato a 45 gradi ci sia astigmatismo. Nonostante il test mostrato piu` sopra possa mostrare parecchie lunghezze d’onda d’errore, in pratica, la precisione di uno specchio piano ellittico con un errore sferico di 0.5 Lambda migliorera`. Infatti, anziche` avere una superficie assolutamente piana, lo specchio e` costruito in modo da avere astigmatismo opposto a quello generato dal fatto di operare a 45 gradi.
Se cio` e` fatto correttamente, anziche` gli anelli circolari di Newton ne risultera` una serie di frange ellittiche parallele all’angolo dello specchio.
L’esempio nell’immagine qui sotto mostra cinque frange, che in pratica rappresentano il limite massimo di questa tecnica.
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Quando si guarda lo specchio piano a 45 gradi, le frange ellittiche sembrano circolari cosi` come il bordo dello specchio. In questa situazione non c’e` astigmatismo.
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Tutto cio` sembra un po’ piu` complicato ma, di fatto, uno specchio piano con circa 5 frange ellittiche e` piu` facile e meno costoso da produrre che uno specchio “convenzionale” da 0.5 Lambda. In questo modo e` possibile controllare i due raggi lungo l’asse minore e quello maggiore sufficientemente bene da avvicinarsi al rapporto 1 a 1,4 , che determina le frange ellittiche.
In linea di principio non importa quante frange ci sono, purche` siano lunghe, ellittiche e combacino con la forma dello specchio; in pratica pero` il limite massimo e` quello di cinque frange e, di solito gli specchi escono dalla macchina con una o due frange. Qui di seguito una fotografia di un vero specchio ellittico con le relative frange:
 
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Come potete vedere c’e` solo una frangia visibile, il che significa che e` circa 0,5 Lambda sia lungo l’asse minore che lungo quello maggiore. C’e` una leggerissima deviazione rispetto alla perfetta forma ellittica della frangia ma l’errore fra l’asse maggire e quello minore e` di solo 1/10 Lambda.
Questo specchio, posto a 45 gradi in un Newtoniano teoricamente e` cinque volte piu` accurato di uno specchio convenzionale a 0,5 Lambda con il vantaggio di essere meno costoso da produrre ! (Ovviamente solo “teoricamente” perche` il vero limite alla precisione e` lo specchio primario a diffrazione limitata).
Siete forse preoccupati che una superficie sferica produca aberrazione sferica Lambda
Vi prego di ricordare che, se avete un telescopio con un grosso rapporto focale come ad esempio F/12 o F/15, non farebbe quasi nessuna differenza se lo specchio fosse sferico o parabolico. Con lunghezze focali lunghe, oltre F/15, virtualmente non c’e` alcuna differenza fra curve sferiche e paraboliche e lo specchio non produrrebbe alcuna aberrazione significativa.
Ora, - sapendo che le aberrazioni sferiche non sono significative oltre a F/15, - pensate a uno specchio che abbia un rapporto focale fra F/250 - F/2500: l’aberrazione sferica non ne condizionera` minimamente le prestazioni.
Il piano focale del sistema verra` mosso di poco, ma dovreste essere veramente molto bravi per notarlo e misurarlo! Uno specchio piano con un raggio di 300,000” installato su un sistema da 20” F4 andra` a modificare la lunghezza focale di appena 0.01”.
Se ancora vi state preoccupando per il fatto di avere uno specchio ellittico ad operare come secondario sferico, ricordatevi che i telescopi Cassegrain anziche` specchi piani usano specchi secondari con una curvatura di parecchie lunghezze d’onda ma le loro immagini non sono degradate.
Se lo fossero, non ci sarebbero cosi` tanti acquirenti degli Schmidt Cassegrains della Celestron o della Meade!
Come standard produttivo la Oldham Optical considera la realizzazione di specchi ellittici piani sia con una precisione superiore ad una frangia (0.5 Lambda) d’errore rispetto al piano, oppure specchi piani con frange ellittiche per una migliore prestazione. Tutti gli specchi piani prodotti offrono una performance uguale a quella dello specchio primario a diffrazione limitata.